Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một vài ví dụ:

1. Khẳng định cận mang tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

*

Giải:

Ta bao gồm miền D số lượng giới hạn bởi những đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
cùng
*
là A(2;-2) cùng C (8;4) với miền D được xác định như hình bên.

Bạn đang xem: Đổi thứ tự lấy tích phân

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D gồm cùng 1 đường vào là

*
và thuộc 1 đưởng ra là x = y + 4.

Xem thêm: Bí Quyết Khắc Phục Mất Biểu Tượng Ứng Dụng Trên Màn Hình Android

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại sở hữu 2 đường vào là y = x – 4 cùng

*
và bao gồm chung 1 con đường ra là
*
. Bởi vì đó, ta phân tách miền D thành 2 miền D1, D2 do đoạn AB bỏ lên mỗi miền gồm chung 1 con đường vào cùng 1 đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như như trên, ta bao gồm kết quả.

Nhận xét:

1. Từ bỏ tích phân trên miền D1, ta phân biệt cận của tích phân theo thay đổi y gồm tính đối xứng, hay nhờ vào ồ thị ta tất cả miền D là miền đối xứng qua Ox. Vì chưng đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bởi 0; còn ví như f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân vẫn bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu như miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng cùng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng cùng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy với f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

(Các công dụng trên coi như bài bác tập, các em tự triệu chứng minh)

4. Mang sử

*
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ kết quả của 2 tích phân đơn. Những em tự bệnh minh)